Bisher haben wir für Funktionen in mehreren veränderlichen jeweils einzelne Komponentenrichtungen

freigelassen und alle anderen Koordinatrichtungen festgehalten, um dann den Mittelwertsatz anwenden

zu können. Genauso gut könnten wir aber auch den Mittelwertsatz für beliebige Richtungen nach dem

Prinzip der Richtungsableitung entlang einer eindimensionalen Linie betrachten. Und so lässt

sich der Mittelwertsatz aus dem eindimensionalen Fall gemeinern, jetzt weg von Koordinatenrichtung

hin zu beliebigen Richtungen. Und diese Fallgemeinerung wollen wir uns zuerst in diesem Video anschauen.

Das heißt, wir beginnen mit folgendem Satz zum Mittelwertsatz für reellwertige Funktion. Das ist

an der Stelle wichtig. Wir werden später noch einen Fall diskutieren, der vectorwertig ist.

Und was brauchen wir dafür? Wir brauchen wieder eine offene Teilmenge und die Funktion,

die wir betrachten, die soll stetig partiell differenzierbar sein. Also wir sagen, sei

U Teilmenge R hoch N eine offene Teilmenge. Und wir brauchen eine Funktion, die reellwertig ist,

also von U nach R abbildet und stetig partiell differenzierbar ist. Stetig partiell diffbare

Funktion. Und wir interessieren uns für einen Punkt und einen Richtungsvektor. Und dann können

wir sehen, dass wir den Mittelwertsatz an diesem Punkt in eine gewisse Richtung anwenden können,

um eine geschlossene Darstellung für die Differenz der Funktionswerte anzugeben. Also für einen Punkt

nehmen wir x aus U und einen beliebigen Richtungsvektor. Den nennen wir Xi. Und wir wählen Xi so, dass x plus

Xi noch in U ist. Also Xi soll in R hoch N sein. Mit der Einschränkung, dass x plus Xi noch in der

Menge ist, damit wir noch im Definitionsbereich der Funktion liegen. Und das soll nicht nur für

beliebiges Xi in der Menge liegen, sondern wir führen jetzt hier noch eine Variable t ein.

Markiere ich in rot. Und das muss gelten für alle t im abgeschlossenen Intervall 0 und 1. Das heißt,

die gesamte Verbindungsgrade zwischen x und Xi muss drin liegen. Schreiben wir es auch in rot.

t Element 0 1. Das soll noch in U liegen. Und jetzt sagt der Satz, es existiert jetzt ein besonderes

Delta irgendwo auf dieser Strecke zwischen 0 und 1, so dass ich die Funktions-, die Differenz der

Funktionswerte exakt angeben kann durch den Gradienten der Funktion. Also es existiert dann

ein Teta. Das ist genau die Zwischenstelle, die uns der Mittelwertsatz liefert,

so dass folgende Identität gilt. So können wir jetzt die Differenz betrachten von f von x plus

Xi minus f von x. Und wir können sagen, diese Differenz, die lässt sich darstellen als folgendes

Skalarprodukt, nämlich der Gradient von f an dieser ausgezeichneten Stelle irgendwo zwischen x und Xi,

also x plus Teta Xi und das Ganze im Skalarprodukt mit Xi selber. Und anschaulich bedeutet das

irgendwie, es gibt eine Zwischenstelle, an der der Gradient der Funktion, gerade der Siegkannte,

entspricht, die zwischen x und x plus Xi verbindet. Genau, das ist einfach eine Verallgemeinerung des

Mittelwertsatzes aus dem Eindimensionalen. Jetzt für eine Funktion im Mehrdimensionalen, für eine

beliebige Richtung. Wir halten hier nicht die Richtung entlang der Koordinaten fest und der

Beweis dafür ist auch relativ einfach. Darum machen wir den schnell. Wir führen, das ist immer der

Trick, eine eindimensionale Einschränkung der Funktion ein. Also wir betrachten die

eindimensionale Funktion oder eindimensionale Einschränkung. Die nennen wir g von f. Die

definieren wir befolgt, wir sagen g ist jetzt in einer eindimensionalen Variable t und wir sagen g

von t sei definiert als f von x plus T mal Xi. Das wird die d sein. Und dann können wir gleich

den Mittelwertsatz für Funktionen einer veränderlichen anwenden und der überträgt

sich natürlich dann direkt auf die Funktion f. Und dann nutzen wir noch die mehrdimensionale

Kettenregel aus, die wir eingeführt haben im letzten Video und darüber bekommen wir dann die

Aussage. Also wir können auf g den Mittelwertsatz, ich kürze mal ab mit mws, für eindimensionale

Funktionen, also Funktionen einer veränderlichen Funktionen anwenden und erhalten ein Tether

irgendwo aus dem Intervall 0 und 1, sodass wir folgende Identität bekommen. Was können wir dann

schreiben? Schreiben wir erstmal die Differenz der Funktionswerte, das ist das, wo wir hinwollen.

f von x plus Xi minus f von x, das können wir jetzt durch unsere Funktion g ausdrücken. Das ist

relativ einfach, das ist jetzt g von 1 minus g von 0. Wenn wir t gleich eins einsetzen, dann haben

sie genau x plus Xi und wenn t 0 ist, dann haben sie überhaupt keinen Anteil von Xi, also haben sie nur f von x.

Jetzt kommt der Mittelwertsatz im eindimensionalen zum Spiel, das heißt hier schreibe ich darüber mws

und das heißt es gibt irgendwo eine Stelle theta, sodass ich die Ableitung hier hinschreiben darf,